L'ERRORE DI MISURAPer effettuare la misura di una grandezza, abbiamo bisogno di uno strumento di misura. È impossibile ottenere il valore esatto di una grandezza, perché ogni misura è soggetta a tre tipi di imprecisione :
la sensibilità dello strumento di misura, cioè la grandezza più piccola che posso misurare.
Esempio
Con un normale righello la divisione più piccola corrisponde a 1 mm. Perciò non possiamo misurare lunghezze più piccole di 1 mm e ogni misura ha un'incertezza pari 1 mm.
l'errore casuale, causato da piccole e imprevedibili variazioni, che aumentano e diminuiscono di poco il risultato della misura.
Esempio
Quando cronometriamo una corsa di velocità, la prontezza di riflessi aumenta o diminuisce casualmente il valore del tempo che registriamo.
l'errore sistematico è causato da un difetto dello strumento di misura o del metodo utilizzato, e si ripete identico ad ogni misura.
Esempio
Un orologio che va troppo piano o una bilancia tarata male modificano sistematicamente le misure.
Ecco, per esempio, come si esprime una misura con il suo errore:
(128±1)cm. In questo caso, la misura è di 128 cm, e l'errore è pari a 1 cm.
Valore medio
Spesso, per ottenere una misura più precisa di una grandezza, la misura viene ripetuta più volte. Ripetendo la misura, probabilmente si otterranno valori diversi ogni volta a causa dell'errore casuale. In questo caso, come valore della grandezza si assume la media delle misure. Per calcolare la media, si usa la formula seguente (1)media=sommadellemisurenumerodellemisure In termini matematici più precisi, se misuriamo N volte la grandezza v e otteniamo i valori v1,v2,…,vN, diremo che la grandezza v è uguale alla media (2)vmedia=v1+v2+v3+...+vNN ====L'errore assoluto====
La sensibilità dello strumento
Quando si effettua una misura sola, la grandezza misurata viene espressa con un'incertezza pari alla sensibilità dello strumento, cioè la più piccola grandezza che lo strumento può misurare.
Esempi
In un righello normale le tacche più piccole corrispondono a 1 mm. Perciò, è impossibile misurare lunghezze più piccole di 1 mm. Ogni misura, dunque, avrà un'incertezza di 1 mm.
Un foglio A4 misura 29,7cm di lunghezza. Se abbiamo misurato il foglio con un righello, l'incertezza è pari ad 1 mm. La lunghezza, dunque, si scrive (29,7±0,1)cm.
La semidispersione
Se abbiamo misurato una grandezza ripetendo la misura molte volte, avremo sicuramente ottenuto un valore minimo vmin e un valore massimo vmax. In questo caso, possiamo definire la semidispersioneΔv, cioè la metà della differenza tra il valore massimo vmax e il valore minimo vmin, come viene espresso nella formula seguente: (3)Δv=vmin−vmax2 Se la semidispersione è maggiore della sensibilità dello strumento, essa viene presa come errore della misura.
Esempio
Immaginiamo di aver misurato il tempo di un corridore sui 100 metri con tre cronometristi diversi, che avranno misurato i tre tempi t1=9,8s, t2=9,9s e t3=10,0s.
Di conseguenza, diremo che il tempo del corridore è uguale alla media dei valori misurati:
(4)tmedia=t1+t2+t33s=9,8+9,9+10,03s=9,9s
e l'errore sulla misura è
(5)Δt=tmax−tmin2=10−9,82s=0,1s.
Infatti, il valore massimo trovato è tmax=10,0s e il valore minimo è tmin=9,8s.
in conclusione, la misura del tempo impiegato dal corridore è
(6)t=(9,9±0,1)s ===Errore relativo===
Si possono avere misure con lo stesso errore assoluto ma precisione molto diversa. Ad esempio, se misuro la lunghezza del pollice della mano (circa 2 cm) e faccio un errore di 1 cm, ho una misura molto grossolana. Ma se faccio lo stesso errore di 1 cm nel misurare l'altezza del Colosseo (circa 50 m), ho una misura molto più precisa. Eppure, l'errore assoluto è identico.
Per risolvere questo problema si introduce l'errore relativo, pari al rapporto tra l'errore della misura ΔassolutoV$ e la misura V della grandezza: (7)ΔrelativoV=ΔassolutoVV. L'errore percentuale è pari all'errore relativo moltiplicato per 100, e si indica con il segno %.
Esempio
Se la lunghezza del pollice è di 2 cm e l'errore di misura è di 1 cm, l'errore relativo vale
Nel caso dell'altezza del Colosseo, invece, la misura vale 50 m = 5000 cm e l'errore è sempre di 1 cm. L'errore relativo in questo caso vale
(10)1cm5000cm=0.0002=0,02%
Dato che l'errore relativo è molto minore in questo caso, diciamo che la misura dell'altezza del Colosseo è molto più precisa della misura della lunghezza del pollice.
Esercizi
Es. 1 (Ruffo > A23 n.9)
Un falegname misura la lunghezza di una tavola e afferma che è compresa fra 298 e 302 cm.
Calcola l'errore assoluto e scrivi il risultato della misura
L'errore percentuale sulla misura è minore dell'1%. Perché?
Es. 2 (Ruffo > A23 n.10)
Misurando più volte il tempo di oscillazione di un pendolo abbiamo trovato i seguenti valori: 1,02 s; 0,99 s; 1,01 s; 0,98 s.
Calcola l'errore assoluto, quello relativo e quello percentuale.
Es. 3 (Ruffo > A23 n.12)
Misurando la massa di un mattone abbiamo trovato 2,50 kg con un errore del 4%.
versione della pagina: 21, ultima modifica: 21 Oct 2010, 23:36 (1139 days fa)Modifica Tag Cronologia File Stampa Strumenti del sito + Opzioni Aiuto | Temini del Servizio | Privacy | Segnala un errore | Segnala come sgradevolePowered by Wikidot.com
- la sensibilità dello strumento di misura, cioè la grandezza più piccola che posso misurare.
- l'errore casuale, causato da piccole e imprevedibili variazioni, che aumentano e diminuiscono di poco il risultato della misura.
- l'errore sistematico è causato da un difetto dello strumento di misura o del metodo utilizzato, e si ripete identico ad ogni misura.
Ecco, per esempio, come si esprime una misura con il suo errore:Esempio
Con un normale righello la divisione più piccola corrisponde a 1 mm. Perciò non possiamo misurare lunghezze più piccole di 1 mm e ogni misura ha un'incertezza pari 1 mm.
Esempio
Quando cronometriamo una corsa di velocità, la prontezza di riflessi aumenta o diminuisce casualmente il valore del tempo che registriamo.
Esempio
Un orologio che va troppo piano o una bilancia tarata male modificano sistematicamente le misure.
(128±1)cm. In questo caso, la misura è di 128 cm, e l'errore è pari a 1 cm.
Valore medio
Spesso, per ottenere una misura più precisa di una grandezza, la misura viene ripetuta più volte. Ripetendo la misura, probabilmente si otterranno valori diversi ogni volta a causa dell'errore casuale. In questo caso, come valore della grandezza si assume la media delle misure. Per calcolare la media, si usa la formula seguente(1)media=sommadellemisurenumerodellemisure
In termini matematici più precisi, se misuriamo N volte la grandezza v e otteniamo i valori v1,v2,…,vN, diremo che la grandezza v è uguale alla media
(2)vmedia=v1+v2+v3+...+vNN
====L'errore assoluto====
La sensibilità dello strumento
Quando si effettua una misura sola, la grandezza misurata viene espressa con un'incertezza pari alla sensibilità dello strumento, cioè la più piccola grandezza che lo strumento può misurare.Esempi
La semidispersione
Se abbiamo misurato una grandezza ripetendo la misura molte volte, avremo sicuramente ottenuto un valore minimo vmin e un valore massimo vmax. In questo caso, possiamo definire la semidispersione Δv, cioè la metà della differenza tra il valore massimo vmax e il valore minimo vmin, come viene espresso nella formula seguente:(3)Δv=vmin−vmax2
Se la semidispersione è maggiore della sensibilità dello strumento, essa viene presa come errore della misura.
Esempio
- Di conseguenza, diremo che il tempo del corridore è uguale alla media dei valori misurati:
(4)tmedia=t1+t2+t33s=9,8+9,9+10,03s=9,9s- e l'errore sulla misura è
(5)Δt=tmax−tmin2=10−9,82s=0,1s.- in conclusione, la misura del tempo impiegato dal corridore è
(6)t=(9,9±0,1)s===Errore relativo===
Si possono avere misure con lo stesso errore assoluto ma precisione molto diversa. Ad esempio, se misuro la lunghezza del pollice della mano (circa 2 cm) e faccio un errore di 1 cm, ho una misura molto grossolana. Ma se faccio lo stesso errore di 1 cm nel misurare l'altezza del Colosseo (circa 50 m), ho una misura molto più precisa. Eppure, l'errore assoluto è identico.
Per risolvere questo problema si introduce l'errore relativo, pari al rapporto tra l'errore della misura ΔassolutoV$ e la misura V della grandezza:
(7)ΔrelativoV=ΔassolutoVV.
L'errore percentuale è pari all'errore relativo moltiplicato per 100, e si indica con il segno %.
- Se la lunghezza del pollice è di 2 cm e l'errore di misura è di 1 cm, l'errore relativo vale
(8)ΔrelativoV=ΔassolutoVV=1cm2cm=0.5Esempio
- L'errore percentuale vale
(9)Missing \end{align}?- Nel caso dell'altezza del Colosseo, invece, la misura vale 50 m = 5000 cm e l'errore è sempre di 1 cm. L'errore relativo in questo caso vale
(10)1cm5000cm=0.0002=0,02%Esercizi
Es. 1 (Ruffo > A23 n.9)
Un falegname misura la lunghezza di una tavola e afferma che è compresa fra 298 e 302 cm.Es. 2 (Ruffo > A23 n.10)
Misurando più volte il tempo di oscillazione di un pendolo abbiamo trovato i seguenti valori: 1,02 s; 0,99 s; 1,01 s; 0,98 s.Es. 3 (Ruffo > A23 n.12)
Misurando la massa di un mattone abbiamo trovato 2,50 kg con un errore del 4%.- Calcola l'errore assoluto.
fisicametodiprimoversione della pagina: 21, ultima modifica: 21 Oct 2010, 23:36 (1139 days fa)Modifica Tag Cronologia File Stampa Strumenti del sito + Opzioni
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